Liczby zespolone

Posted on by

Liczby zespolone zostały wprowadzone w celu upraszczania obliczeń – ma to swoje zastosowanie między innymi w metodzie symbolicznej, która jest omówiona w następnej „lekcji”.

Kurs modelowania i drukowania 3DModelowanie i drukowanie 3D! Zdobądź Cenną Wiedzę Na Rynku Pracy! Więcej informacji >>

Liczby zespolone – są to takie liczby, które składają się z liczby rzeczywistej i liczby urojonej. Kolokwialnie można powiedzieć, że liczba zespolona jest rozszerzoną liczbą rzeczywistą. W postaci algebraicznej przedstawia się za pomocą sumy liczby rzeczywistej i
urojonej. Zatem możemy przedstawić takie liczby na wykresie:

liczby zespoloneNa osi Im zaznaczone są liczby tzw. czysto urojone (przykład: j4 , j5 , j10 ). Na osi Re standardowo umieszcza się liczby rzeczywiste.
Liczby zespolone składające się z części rzeczywistej i urojonej zaznaczamy na płaszczyźnie, którą rozpinają osie: Im i Re (na przykład : 4+j , 3+j2 , 7+j8 ). Są to normalne liczby, na których możemy robić działania zgodnie z zasadami podobnymi do tych jakie wykonuje się na wyrażeniach algebraicznych.

mathbb{C} - oznaczenie zbioru liczb zespolonych

Działania i własności liczb zespolonych:

Najważniejszy fakt wynikający z definicji liczb zespolonych to: j^2 = -1 . Dzięki temu możemy liczyć pierwiastki z liczb ujemnych – co w zbiorze liczb rzeczywistych jest niewykonalne.

Sprzężenie: Załóżmy, że z = x + jy , gdzie Re(z)=x – część rzeczywista i Im(z)=y – część urojona, wówczas liczbą sprzężoną do z jest z* =x-jy. Sprzężenie jest bardzo istotne w obwodach prądu zmiennego do obliczania między innymi mocy czy dobierania optymalnej impedancji obciążenia, dla której dany dwójnik wydziela maksymalną moc.

Moduł: |z| = \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{Re(z)^2+Im(z)^2}

Postać trygonometryczna: Tą samą liczbę, która ma określone współrzędne możemy zlokalizować również na podstawie dwóch innych zmiennych tj. odległość od środka układu (moduł) i kąta z osią x (kąt fi). z = |z|(cos\varphi + jsin\varphi), gdzie \varphi i |z| mają następujące interpretacje geometryczne:

liczby zespoloneFakt ten przyda się w metodzie symbolicznej do zamiany przebiegu czasowego na wartość zespoloną.

Postać wykładnicza: Zasady podobne jak w postaci trygonometrycznej, różnica występuje tylko w zapisie: z = |z|e^{j\varphi}
Często za pomocą postaci wykładniczej można szybciej dokonywać obliczeń.

Kurs Linux dla każdegoObsługa Linuxa to Podstawa Dla Każdego Wybitnego Inżyniera! Zacznij Działać Już Dzisiaj Lub Dowiedz Się Więcej >>

 

<< Spis treści           Metoda symboliczna >>