Metoda symboliczna

Posted on by

Metoda symboliczna upraszcza pod względem obliczeniowym analizę obwodów prądu przemiennego. Główną ideą jest po prostu zamiana przebiegów czasowych na liczby zespolone i operowanie nimi. Stosuje się ją zazwyczaj jeśli interesuje nas stan ustalony w obwodzie i pobudzenia są o tej samej pulsacji.

Dzięki temu uproszczamy obliczenia, które wynikałyby choćby z działań na funkcjach trygonometrycznych co często jest czasochłonne i stosunkowo łatwo można popełnić błąd. Zaczniemy jednak od zdefiniowania impedancji i reaktancji – jest to kluczowe w obwodach prądu AC i niezbędne przy obliczaniach.

Reaktancja – pewnego rodzaju opór. Występuje jeśli w obwodzie jest element pojemnościowy (np. kondensator) i/lub indukcyjny (np. cewka). Jest częścią urojoną impedancji i jeśli wielkość ta jest ujemna to obwód ma charakter pojemnościowy, w przeciwnym wypadku, gdy jest dodatnia to charakter jest indukcyjny.

Wprowadzenie do tworzenia aplikacji mobilnychKto Jeszcze Chce Zacząć Tworzyć Aplikacje Mobilne?
Sprawdź Więcej >>

Impedancja – to również opór, jednak bardzo uogólniony. W zasadzie rezystancja i reaktancja wchodzą w skład impedancji. Można przedstawić ją za pomocą liczby zespolonej, gdzie częścią rzeczywistą (rezystancją) opisany jest opór, w którym płynący prąd jest zgodny w fazie z przyłożonym napięciem, natomiast częścią urojoną (reaktancją) – przesunięcie w fazie.

metoda symbolicznagdzie: X - reaktancja, R - rezystancja, Z - impedancja

metoda symbolicznaImpedancja dla elementów RLC

(Aby zrozumieć ten temat i robić przykłady, zadania należy dobrze śmigać z liczbami zespolonymi)

Impedancja rezystora:

metoda symbolicznaImpedancją idealnego rezystora jest część rzeczywista, część urojona jest zerowa.

Impedancja induktora:

metoda symboliczna

Impedancja idealnego induktora jest urojona (przy zerowej części rzeczywistej)
X>0 - charakter indukcyjny

Impedancja kondensatora:

metoda symboliczna

Impedancja idealnego induktora jest urojona (przy zerowej części rzeczywistej)
X<0 - charakter pojemnościowy

METODA SYMBOLICZNA – WYKORZYSTANIE W PRAKTYCE

> Przebieg czasowy napięcia dany jest wzorem:

metoda symboliczna

> Przechodzimy na postać tzw. wartość zespoloną:

metoda symboliczna

Aby przejść należy amplitudę podzielić – w przypadku przebiegu sinusoidalnego – przez \sqrt{2}, natomiast argumentem \varphi jest przesunięcie fazowe, ponieważ czas jest zerowany, więc nie uwzględniamy pulsacji. Zatem wartość zespolona jest niezależna od czasu.
W powrocie do przebiegu czasowego moduł liczby zespolonej mnożymy razy \sqrt{2}, a kąt liczby zespolonej jest brany jako faza przebiegu.

Dzięki takim przekształceniom nie tylko uproszczą nam się obliczenia, ale również będziemy mogli korzystać z metod, które wykorzystywane są w analizie prądu stałego.

Łączenie impedancji: analogicznie jak przy łączeniu rezystancji (przykład 1)

Przykład 1. (metoda symboliczna – impedancja)

Obliczyć impedancję dwójnika, dla danej pulsacji \omega_0. Wynik przedstawić w postaci algebraicznej i wykładniczej.

metoda symbolicznaRozwiązanie:

W pierwszej kolejności wstawmy w układ impedancje zgodnie ze wzorami.

metoda symbolicznaNastępnie łączymy impedancje zgodnie z zasadami jak przy łączeniu rezystancji. Poniżej odpowiednie równania:

metoda symbolicznaŁączenie impedancji, dzielenie liczby zespolonej – czyli mnożenie przez sprzężenie, wynik ostateczny w postaci algebraicznej i przejście do postaci wykładniczej poprzez trygonometryczną.

metoda symboliczna

Odp. Zatem ostateczny wynik to: 0.1+j0.1 \Omega i postać wykładnicza: \sqrt{0.02}e^{j\frac{\pi}{4}}.

Przykład 2. (metoda symboliczna – Prawo Ohma)

W danym poniżej schemacie obwodu panuje stan ustalony. Należy wyznaczyć prąd i(t).

metoda symbolicznaRozwiązanie:

Aby rozwiązać tego typu zadanie należy skorzystać z metody symbolicznej i Prawa Ohma. Napięcie mamy dane: e(t). Szukamy prąd i(t), zatem po zamianie na wartość zespoloną nasze Prawo Ohma przyjmie postać:

metoda symboliczna

Prąd w metodzie symbolicznej to I, napięcie to E, natomiast Z jest impedancją, czyli oporem. Wniosek jest taki, że aby wyznaczyć przebieg prądu należy wyznaczyć impedancję, dzięki temu będziemy mogli podstawić pod wzór.

Zacznijmy od zamiany przebiegu czasowego napięcia na wartość zespoloną:

przebiegnawartosczespoolnnonasd

Następnie wyznaczmy impedancję:

metoda symbolicznaZgodnie z zasadami łączenia impedancji wyprowadzono następujące wzory:

metoda symboliczna

Impedancje łączymy szeregowo i wstawiamy wartości dane w zadaniu:

metoda symboliczna

Teraz można już skorzystać z prawa Ohma, a wartość zespoloną prądu zamienić na przebieg czasowy:

metoda symboliczna

Zatem odpowiedzią jest wynik i(t)=sin(2t+45^o).

<< Spis treści           Moc AC >>